Restrictions of unitary representations to lattices and associated \(C^*\)-algebras (Q677465)

Einschränkungen irreduzibler unitärer Darstellungen von \(SL_2(\mathbb{R})\) auf \(SL_2(\mathbb{Z})\) wurden zuerst von T. Steger auf Irreduzibilität untersucht. Gemeinsam mit M. Cowling wurden diese Untersuchungen auf beliebige Gitter \(\Gamma\) in halbeinfachen Lieschen Gruppen \(G\) ausgedehnt und ergaben u.a. das folgende Resultat: Ist \(\pi\) eine irreduzible unitäre Darstellung von \(G\) und ist \(\pi\) nicht quadratintegrierbar, so ist auch \(\pi|_\Gamma\) irreduzibel. Ist ferner \(\pi'\) eine weitere solche Darstellung und sind \(\pi|_\Gamma\) und \(\pi'|_\Gamma\) unitär äquivalent, so auch \(\pi\) und \(\pi'\). Das erste Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist eine Verschärfung der letzten Aussage im Falle eines einfachen \(G\): Sind \(\pi\) und \(\pi'\) inäquivalente irreduzible unitäre Darstellungen von \(G\) und sind nicht beide schwach in der (links-)regulären Darstellung \(\lambda_G\) von \(G\) enthalten, so sind \(\pi|_\Gamma\) und \(\pi'|_\Gamma\) nicht einmal schwach äquivalent. Der Beweis dafür basiert wesentlich auf einem Satz von C.C. Moore: Ist \(\rho\) die Einschränkung der quasi-regulären Darstellung in \(L^2(G/\Gamma)\) auf das orthogonale Komplement der Fixvektoren, so ist \(\rho^N=\rho\otimes\dots\otimes\rho\) für ein passendes \(N\) in \(\infty\lambda_G\) enthalten. Für den Beweis reicht, daß \(\rho^N\)in \(\lambda_G\) schwach enthalten ist. -- Ein ähnliches Argument liefert auch den ersten Teil des o.g. Satzes von Steger/Cowling. Ist \(G\) sogar als abstrakte Gruppe einfach, d.h. \(Z(G)\) trivial, so wird weiter für nicht-triviale irreduzible unitäre Darstellungen \(\pi\) von \(G\) die Struktur der \(C^*\)-Algebra \(\mathcal A_\pi:=C^*(\Gamma)/\ker_{C^*(\Gamma)}\pi|_\Gamma\) untersucht. Es zeigt sich, daß \(\ker_{C^*(\Gamma)}\pi|_\Gamma\) in \(\ker_{C^*(\Gamma)}\lambda_{\Gamma}\) enthalten ist und daß \(\ker_{C^*(\Gamma)}\lambda_{\Gamma}/\ker_{C^*(\Gamma)}\pi|_{\Gamma}\) das einzige maximale Ideal in \(\mathcal A_\pi\) ist. Die Algebra \(\mathcal A_\pi\) besitzt eine einzige Spur, nämlich die von \(\lambda_\Gamma\) herrührende. Die Beweise beruhen nicht zuletzt auf einem Satz von M. Bekka, M. Cowling und P. de la Harpe, mit dessen Hilfe man zu gegebener endlicher Menge \(F\) in \(\Gamma\setminus\{1\}\) einen beschränkten Operator von \(l_2(\mathbb{N})\) in die reduzierte \(C^*\)-Algebra \(C^*_r(\Gamma)\) konstruieren kann.