Irrationality of the sum of inverses of the Fibonacci sequence (Q677615)

Sei \((F_n)\) die durch \(F_0:= 0\), \(F_1:= 1\) und \(F_n:= F_{n-1}+ F_{n-2}\) für \(n\geq 2\) definierte Fibonacci-Folge. Der Autor gibt einen elementaren Beweis für die Irrationalität von \(S:= \sum_{n\geq 1} 1/F_n\), in dem er einige einfache Tatsachen über die \(q\)-Exponentialfunktion und den \(q\)-Logarithmus verwendet ebenso wie Fouriers klassische Methode zum Irrationalitätsbeweis für \(e\) mittels der Reihendarstellung \(\sum 1/n!\). Die Irrationalität von \(S\) war erstmalig von \textit{R. André-Jeannin} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 308, 539-541 (1989; Zbl 0682.10025)] gezeigt worden; sie ergab sich auch als Folgerung aus allgemeineren Resultaten von \textit{K. Väänänen} und \textit{P. Bundschuh} [Compos. Math. 91, 175-199 (1994; Zbl 0802.11027)]. \{Anmerkung des Ref.: Die obere Abschätzung für \(R_N\), die rechte Seite in Formel (14), kann anstelle von (15) zu \(R_N\ll N\phi^{-N}\) verschärft werden, was den Beweis kürzer und klarer gestaltet\}.