On defining the generalized functions \(\delta^ \alpha(z)\) and \(\delta^ n(x)\) (Q689024)

Die Definition von nicht-linearen Funktionen einer \(\delta\)-Distribution ist mit Schwierigkeiten verbunden. So sind z.B. \(\sqrt{\delta}\) oder \(\sin\delta\) zunächst sinnlos [\textit{P. Antosik}, \textit{J. Mikusinski} and \textit{R. Sikorski}, `Theory of distributions, the sequential approach', Warszawa (1973; Zbl 0267.46028)]. Hier wird gezeigt, daß unter geeigneten Voraussetzungen die Cauchy'sche Formel zur Definition herangezogen werden kann, sodaß \[ \langle \delta^ \alpha(z),\;\varphi(z)\rangle \overset {\text{def}} = {1\over {(2\pi i)^ \alpha}} \oint {{\varphi(z)} \over {z^ \alpha}} dz. \] Mittels der Hilbertschen Transformation läßt sich nun zeigen, daß die geraden Potenzen von \(\delta(z)\) Null sind, die ungeraden jedoch proportional den Ableitungen von \(\delta(x)\) sind. Das Hauptergebnis dieser Arbeit \[ \delta^{2k+1}(x)= {{(-1)^ k \delta^{(2k)}(x)} \over {(2\pi)^{2k} (2k)!}} \qquad \text{für } k=0,1,2,\dots \] wurde in ähnlicher Form und auf anderem Weg von den Autoren schon früher abgeleitet [\textit{E. L. Koh} and \textit{C. K. Li}, On the distributions \(\delta^ k\) and \((\delta')^ k\), to appear in Math. Nachr.].