Projective planes with non-abelian simple collineation group fixing an oval (Q689735)

Es sei \(P\) eine projektive Ebene ungerader Ordnung \(q^ 2\) (wobei \(q\) eine Primzahlpotenz ist), auf der eine zu \(PGL(2,q)\) isomorphe Gruppe \(\Gamma\) operiere, so daß jede Involution aus \(\Gamma\) eine Homologie ist und zwei verschiedene solche Involutionen voneinander verschiedene Zentren und verschiedene Achsen haben. Dann läßt \(\Gamma\) eine Baer-Unterebene \(\overline{P}\) von \(P\) invariant. Die Verfasser zeigen, daß sich ein \(\Gamma\)-invarianter Kegelschnitt \(\overline{O}\) von \(\overline{P}\) genau dann zu einem \(P\)-invarianten Oval \(\Omega\) von \(P\) erweitern läßt, wenn es in \(\Gamma\) eine zyklische Untergruppe maximaler Ordnung gibt, die in \(P\setminus \overline{P}\) einen Fixpunkt besitzt. Auf diese Weise konstruieren sie erste Beispiele von Ovalen in verallgemeinerten Hughes-Ebenen. Außerdem zeigen sie, daß es zu \(PSL(2,q)\) isomorphe, eine Baer-Unterebene \(\overline{P}\) invariant lassende Kollineationsgruppen gibt, deren Involutionen lauter Homologien mit verschiedenen Achsen und Zentren sind und in denen eine zyklische Gruppe maximaler Ordnung mit einem Fixpunkt in \(P\setminus\overline{P}\) existiert, die aber trotzdem kein Oval in \(P\) festläßt.