Spherical Fourier transform of type \(\delta\). Applications to semi-simple Lie groups (Q699489)

Soit \(G\) un groupe de Lie connexe et \(K\) un sous-groupe de Lie compact de \(G\). Soit \(\delta\) une classe de représentation unitaire et irréductible sur \(K\). Soit \(\chi_\delta= d(\delta)\xi _\delta\) où \(d(\delta)\) est le degré de \(\delta\) et \(\xi_\delta \) son caractère. Une fonction sphérique \(\phi\) sur \(G\) de type \(\delta \) est une fonction continue quasi-bornée à valeur dans \(\text{End}_\mathbb{C}(E)\) où \(E\) est un espace vectoriel complexe de dimension finie vérifiant: (1) \(\phi (kxk^{-1})=\phi (x)\;\;\forall \;x, k \in K\). (2) \(\chi _\delta *\phi =\phi =\phi * \chi _\delta\). (3) La transformée de Fourier sphérique de type \(\delta \), \[ {\mathcal F}: f\longmapsto {\mathcal F}(f) = \int_G f(x) \phi (x^{-1}) \;dx \] définie une représentation irréductible sur l'algèbre des fonctions continues sur \(G\), \(K\)-centrales et invariantes par le caractère \(\delta\). Quand \(K\) est un sous-groupe large, les auteurs construisent gr\(\hat{\text{a}}\)ce à la transformée d'Abel généralisée une transformée de Fourier sphérique de type \(\delta\). Dans le cas où \(G\) est le groupe de Lie réel \(SL_2(\mathbb{R})\), ils construisent explicitement, en utilisant des données du groupe, le sous-groupe \(K=SO(2)\), des transformées de Fourier sphériques de type \(\chi _n, n \in \mathbb{Z}\), où \(\chi _n\) est une classe d'équivalence de représentations unitaires et irréductibles sur \(K\).