Radon inversion formulas over local fields (Q736720)

Sei \(F\) ein lokaler Körper (i.e. entweder \(F\) nicht-Archimedisch, \({\mathcal O}\subseteq F\) der Ring der ganzen Zahlen, oder \(F\) Archimedisch und damit \(F=\mathbb{R}\) oder \(F=\mathbb{C}\)) und sei \(n\) eine natürliche Zahl \(\geq 2\). Sei \(G= GL(n,F)\) und sei \(K\) die maximal kompakte Untergruppe \(GL(n,{\mathcal O})\) von \(G\) oder -- im Archimedischen Fall -- \(K= O(n)\) bzw. \(U(n)\). Sei \(C^\infty(F^n\setminus\{0\})\) der Raum der \(C^\infty\)-Funktionen auf \(F^n\setminus\{0\}\) (wobei im nicht-Archimedischen Fall \(C^\infty\) ``lokal-konstant'' meint) und sei \({\mathcal C}\subseteq C^\infty(F_n\setminus\{0\})\) der Unterraum der \(K\)-endlichen Funktionen. Sei ferner \({\mathcal C}_+\subseteq{\mathcal C}\) der Unterraum der Funktionen mit beschränktem Träger und \({\mathcal C}_-\subseteq{\mathcal C}\) der Unterraum der Funktionen, deren Träger (mindestens) eine Nullumgebung nicht trifft. Die Radon-Transformierte von \(f\in{\mathcal C}_+\) ist definiert als Funktion \({\mathcal R}f(\xi, t)\) von \(\xi\in F^n\setminus\{0\}\) und \(t\in F^\times\) durch die Formel \[ {\mathcal R}f(\xi,t):= \int_{\xi\cdot x=t} f(x)\,d\mu_\xi, \] wobei \(\xi\cdot x:=\xi_1 x_1+\cdots+ \xi_nx_n\) und \(d\mu_\xi\) das ``kanonische'' Maß\ auf der Hyperebene \(\{\xi\cdot x= t\}\) ist. Aus Homogenitätsgründen enthält \({\mathcal R}f(\xi,t)\) schon für \(t=1\) alle Informationen, so dass der Autor mit Recht die Radon-Transformation als den Operator \[ Mf(\xi):={\mathcal R}f(\xi,1) \] betrachten kann. Er zeigt nun, dass \(M\) stets ein Isomorphismus von \({\mathcal C}_+\) nach \({\mathcal C}_-\) ist, und gibt sogar Inversionsformeln an. (Vgl. dazu im nicht-Arimedischen Fall [\textit{R. Bezrukavnikov} und \textit{D. Kazhdan}, Represent. Theory 19, 299--332 (2015; Zbl 1344.20064)] sowie [\textit{V. G. Chernov}, Tr. Semin. Vektorn. Tenzorn. Anal. 16, 374--406 (1972; Zbl 0276.28011)].) Wichtige Hilfsmittel sind dabei im jeweiligen Fall die Beziehung zwischen der Radon- und der Fourier-Transformation sowie im Archimedischen Fall die Mellin-Transformation. Die Forderung der \(K\)-Endlichkeit der betrachteten Funktionen ist im Archimedischen Fall von entscheidender Bedeutung. Der Autor zeigt im Fall \(F=\mathbb{R}\), dass beim Verzicht auf diese Forderung der dem Operator \(M\) entsprechende Operator zwar noch injektiv, aber nicht mehr surjektiv und damit kein Isomorphismus ist.