Zur lokalen Lösbarkeit nichtlinearer Differentialgleichungen vom gemischten Typ. (On local solvability of nonlinear differential equations of mixed type) (Q752319)

Es werden zwei Gleichungen \[ (1)\quad u_{xx}+xu_{yy}+\Delta u=\epsilon F(\epsilon,u),\quad (2)\quad xu_{xx}+u_{yy}+\Delta u=\epsilon F(\epsilon,u) \] betrachtet. Dabei sei \(\epsilon\) ein kleiner, reeller Parameter, \(\Delta =\sum^{n}_{i=1}\partial^ 2/\partial z^ 2_ i\) (bei \(n=0\) soll \(\Delta\) der Nulloperator sein) und F(\(\epsilon\),u) eine endliche Summe von Ausdrücken der Gestalt \(a_{\epsilon}\partial^{\beta_ 1}u...\partial^{\beta_ k}u\), \(k\geq 1\), mit \(m=n+2\)-stelligen Multiindizes \(| \beta_ 1|,...,| \beta_ k| \leq 2\). Ferner seien die Koeffizienten \(a_{\epsilon}\) für jedes \(\epsilon\in (0,1]\) Elemente des Sobolev- Raumes \(H^ s\), \(s\geq [m/2]+3\), deren Normen unabhängig von \(\epsilon\) beschränkt sind. Unter den obengenannten Voraussetzungen lautet das Resultat wie folgt: Es gibt in jedem der beiden Fälle (1) und (2) je ein \(\epsilon_ 0>0\) und eine Umgebung \(V\subseteq {\mathbb{R}}^ m\) des Nullpunktes, so daß für \(\epsilon \in (0,\epsilon_ 0]\) die Gleichungen (1) bzw. (2) eine Lösung \(u\in H^{s+1}(V)\) mit \(\| u\|_{s+1,v}\leq 1\) besitzen. Der Beweis beruht auf einer Variante des Galerkin-Verfahrens.