Sums of squares in Witt rings (Q752742)

Bezeichne F einen Körper und W(F) den Witt-Ring der nichtsingulären quadratischen Formen über F. Verf. studiert die Frage, welche Elemente \(\phi\in W(F)\), char \(F\neq 2\), Summen von Quadraten in W(F) sind. Die notwendige Bedingung \(``\phi -\dim \phi \cdot <1>\) ist durch 2 teilbar`` ist dafür auch hinreichend, falls entweder F nichtreell oder F ein SAP- Körper mit torsionsfreier Untergruppe \(I^ 3\) ist. Für beliebige reelle Körper F steht eine genaue Charakterisierung von \(\phi\) noch aus. Es genügt aber z.B. die Bedingung: \(\phi\) ist ein durch 4 teilbares Torsionselement von W(F). Außerdem gilt folgender Satz: Ist \(\phi\in W(F)\) positiv, d.h. hat \(\phi\) positive totale Signatur, so ist \(2^ r\times \phi\) bei passender Wahl von r eine Quadratsumme.