Some generalizations of the Eisenstein criterion (Q752811)

Es handelt sich um eine Übertragung des Eisensteinschen Irreduzibilitätskriteriums auf \({\mathbb{Z}}\)-graduierte Ringe und Schiefpolynomringe. Als Beispiel sei das folgende erwähnt. R sei ein faktorieller kommutativer Ring und \(f=a_ 0+...+a_ nX^ n\) ein Element des Schiefpolynomringes R[X;\(\sigma\) ] bezüglich eines Automorphismus \(\sigma\) von R. f ist irreduzibel in R[X;\(\sigma\) ] falls die folgenden Bedingungen für ein irreduzibles Element \(p\in R\) erfüllt sind: \(a_ n\not\equiv 0(p)\), \(a_ n^{\sigma^{- n}}\not\equiv 0(p)\); \(a_ i\equiv a_ i^{\sigma^{-i}}\equiv 0(p)\) \((0\leq i<n)\), \(a_ 0\not\equiv 0(p^ 2)\), \(a_ 0\not\equiv 0(p^{\sigma^{\pm k}})\), \(0<k<n\).