Algebraic independence of elementary functions and its application to Masser's vanishing theorem (Q757468)

Soit \(\Omega =(\omega_{ij})\) une matrice \(n\times n\) à coefficients dans \({\mathbb{Z}}\). On suppose que \(\Omega\) est inversible et que ses valeurs propres ne sont pas racines de l'unité. Si C est un corps de caractéristique nulle et \(x=(x_ 1,...,x_ n)\in C^{\times n}\), on note \[ \Omega x=(\prod_{1\leq i\leq n}x_ i^{\omega_{ji}})_{1\leq j\leq n}\in C^{\times n}. \] Les AA. montrent que, si \(P\in C[X]\setminus \{0\}\) et \(P(\Omega^ kx)=0\) pour une infinité d'entiers \(k\geq 0\), alors \(x_ 1,...,x_ n\) sont multiplicativement dépendants. Ils en déduisent la ``refined identity'' de \textit{D. W. Masser} [Invent. Math. 67, 275-296 (1982; Zbl 0481.10034)] qui permet de montrer le lemme de zéros utile pour la méthode de transcendance de K. Mahler. Alors que D. W. Masser utilisait les résultats de \textit{J. Ax} [Ann. Math., II. Ser. 93, 252-268 (1971; Zbl 0232.10026)] et de l'analyse complexe, le procédé des AA. paraît plus naturel: ils utilisent des résultats d'algèbre différentielle à la \textit{M. Rosenlicht} [Pac. J. Math. 65, 485-492 (1976; Zbl 0318.12107)] et plongent la situation dans un \({\mathbb{C}}_ p\) convenable [suivant \textit{J. W. S. Cassels}, Bull. Aust. Math. Soc. 14, 193-198 (1976; Zbl 0345.12104)].