Some theorems on linear congruences (Q767306)

Von den Sätzen dieser Arbeit werde angeführt: 1. Ist \((a, m) = (a, b) = 1\), \(a, b, c < \sqrt m\), dann hat die Kongruenz \(ax+by\equiv c \pmod m\) immer eine Lösung mit \(| x|\leq\sqrt m\), \(| c/b-y| \sqrt m\). Der Spezialfall \(c = 0\) ergibt einen bekannten Satz von A. Thue. 2. Ist \(D\) der Inhalt der Ebene \(\sum_{i=1}^r a_ix_i = 0\) innerhalb des Würfels \(| x_i| \leq m^{1/r}\), \(A_r(m)\) die Anzahl der Lösungen der Kongruenz \(\sum_{i=1}^r a_ix_i \equiv 0\pmod m\) mit \((a_1,\dots, a_r) = 1\) und \(| x_i| \leq m^{1/r}\), dann gilt \[ A_r(m) = D \left(\sum_{i=1}^r a_i^2\right)^{-1/2} + O(m^{(r-2)/r}). \] Der Beweis beruht auf zwei Hilfssätzen über die Anzahl der Gitterpunkte in einem Würfel und über den Inhalt eines Grundparallelotops.