Corresponding residue systems in algebraic number fields (Q767480)

\(F_1\) und \(F_2\) seien zwei Unterkörper eines endlich algebraischen Zahlkorpers \(F\); \(\mathfrak a_1\) und \(\mathfrak a_2\) zwei Ideale in \(F_1\) bzw. \(F_2\), die in \(F\) dasselbe Ideal \(\mathfrak a\) erzeugen. Die Verff. untersuchen, unter welchen Bedingungen es zu jeder ganzen Zahl \(\alpha_1\) aus \(F_1\) eine Lösung \(\alpha_2\in F_2\) der Kongruenz \(\alpha_2\equiv \alpha_1\bmod {\mathfrak a}\) und umgekehrt zu jedem ganzen \(\alpha_2\in F_2\) ein \(\alpha_1\equiv \alpha_2\bmod {\mathfrak a}\) in \(F_1\) gibt. Die Frage wird zunächst auf den Fall von Primidealpotenzen \(\mathfrak a_i=\mathfrak p_i^k\) zurückgeführt (die Exponenten müssen hier gleich sein). Für \(k=1\) ist notwendig und hinreichend, daß -- \(F_1\cap F_2=F_0\) gesetzt -- die Grade \([F_i:F_0]\) gleich sind und \(\mathfrak p_i\) der einzige Primteiler eines in \(F_i/F_0\) voll verzweigten Primideals \(\mathfrak p\) aus \(F_0\) ist \((i=1,2)\). Ist \(k>1\) und \(F_i\) galoissch über \(F_0\), so ist notwendig (aber nicht hinreichend), daß die \(k\)-te Verzweigungsgruppe von \(\mathfrak p_i\) in \(F_i/F_0\) die ganze Galoisgruppe ist. Zum Schluß wird der Fall ausführlich behandelt, daß \(F_0\) die \(q\)-ten Einheitswurzeln enthält \((q\) Primzahl) und \(F_i= F_0(\mu_i^{1/q})\) ist.