On perfect and multiply perfect numbers (Q767754)

Sei \(\sigma(n)= \sum_{ d \mid n} d, P(x)\) bzw. \(P_2(x)\) die Anzahl der \(n\leq x\), welche \(n \mid \sigma(n)\) bzw. \(\sigma(n) = 2n\) genügen. Verf. beweist \(P(x) <x^{3/4 +\varepsilon}\) für jedes \(\varepsilon > 0\) und \(x > x_0(\varepsilon)\). Ferner zeigt er, daß es eine Konstante \(c_1>0\) so gibt, daß für \(x > x_0\) auch \(P_2(x) < x^{(1-c_1)/2}\) gilt. Er vermutet \(P(x) = o(x^\varepsilon)\) für jedes \(\varepsilon > 0\). Diese Vermutung wurde inzwischen von \textit{B.Hornfeck} und \textit{E.Wirsing} [Math. Ann. 133, 431-438 (1957; Zbl 0084.04204)] bewiesen. Beim Beweis macht Der Verf. Gebrauch davon, daß für alle genügend großen \(n\) die Abschätzung \(\sigma(n) < 2n\log\log n\) gilt. Ohne Beweis gibt der Verf. schließlich zwei interessante Sätze an, welche Aussagen über die Anzahl der \(n<x\) enthalten, für die entweder \((\sigma(n),n) > (\log x)^{c_1}\) oder \((\sigma(n),n) < (\log\log n)^{\alpha}\) gilt, wobei \(c_2\) eine geeignete positive Konstante bedeuten und \(0 < \alpha < \infty\) sein soll. Es wird erwähnt, daß man dabei \(\sigma(n)\) auch durch \(\varphi(n)\) ersetzen kann.