Rekursive reelle Zahlen (Q767909)

\(R_1\) sei die Klasse der (allgemein) rekursiven reellen Zahlen, \(R_2\) die Klasse der rekursiven Dezimalbrüche, \(R_3\) die Klasse der rekursiven Schnitte. Es ist \(R_1 = R_2 = R_3\), doch können diese Gleichheiten (nach der Einleitung der Arbeit) nicht mit \glqq konsequent konstruktiven Methoden\grqq{} bewiesen werden. Dies ist bei der naheliegenden Präzisierung von \glqq konsequent konstruktiv\grqq{} richtig, doch wird der Satz so präzisiert, daß er falsch wird. Der Trugschluß kann auf die folgende Form gebracht werden: Gibt es keine Zahl \(n\), so daß \(A(n)\) in einem Formalismus \(F\) beweisbar ist, so ist in \(F\) nicht beweisbar, daß es eine Zahl \(n\) mit \(A(n)\) gibt. Im weiteren werden spezielle rekursive und rekursiv konvergente Folgen betrachtet und ihre Schnitteigenschaften untersucht sowie gezeigt, daß es eine rekursive Folge \(f\) gibt, so daß \(f(n)\ge 0\), \(\displaystyle \sum_0^k f(k) <1\), daß \(f\) aber nicht rekursiv konvergiert.