The continuous transformation ring of biorthogonal bases spaces (Q770322)

Soient \(M\) et \(M'\) deux espaces vectoriels (respectivement, à gauche et à droite sur un corps \(D\)), en dualité et possédant des bases biorthogonales. En munissant \(M\) de la \(M'\)-topologie, un homomorphisme \(A\) de \(M\) est continu s'il possède un adjoint \(A'\) dans \(M'\) (cf. N. Jacobson [Ann. Math. (2) 48, 8--21 (1947; Zbl 0029.10601)]). Soient \(\mathfrak L(M)\) l'anneau de tous les endomorphismes de \(M\), \(\mathfrak L(M,M')\) l'anneau des endomorphismes continus de \(M\); l'A. établit pour \(\mathfrak L(M,M')\) les théorèmes de structure suivants, connus pour \(\mathfrak L(M)\): (1) Pour tout cardinal infini \(\aleph\leq \dim M\), soit \(I_\aleph\) la totalité des endomorphismes dans \(\mathfrak L(M,M')\) de rang \(\aleph\); alors \(I_\aleph\) est un idéal bilatère propre de \(\mathfrak L(M,M')\) et tout idéal bilatère propre de cet anneau coincide avec l'un des \(I_\aleph\). (2) Si \(J_1\) et \(J_2\) sont deux idéaux dans \(\mathfrak L(M,M')\) tels que \(J_1\supset J_2\), alors \(J_1/J_2\) est un anneau primitif sans idéaux mininaux. (3) Si \(J\) est un idéal bilatère maximal de \(\mathfrak L(M,M')\) teI que \(\mathfrak L(M,M')/J\) soit un anneau simple avec unité et sans idéaux minimaux, alors cet anneau possède exactement \(2^{2^\aleph}\) représentations irréductibles non isomorphes, pourvu que le cardinal du corps \(D\) soit \(\leq 2^\aleph\). Finalement l'A. donne une réponse négative à la question de savoir s'il existe un isomorphisme entre l'anneau \(\mathfrak L(M,M')\) et l'anneau \(\mathfrak L(M)\), en montrant que l'anneau \(J_1/J_2\) est régulier si \(J_1\) et \(J_2\) sont des idéaux bilatères (\(J_2\) strictement contenu dans \(J_1\)) de \(\mathfrak L(M)\), tandis qu'il n'est pas régulier si \(J_1\) et \(J_2\) sont des idéaux bilatères de \(\mathfrak L(M,M')\).