Sequences of linear fractional transformations (Q770872)

Diese Arbeit ist die unmittelbare Fortsetzung einer Abhandlung von \textit{Piranian} und \textit{Thron} (Zbl 0080.28202, im folgenden zitiert: [P.T.]). Im ersten Abschnitt wird gezeigt, daß eine Punktmenge auf einer Geraden dann und nur dann ein DB ist, wenn sie (in Hausdorffs Bezeichnung) ein \(G_{\delta \sigma}\) ist, d.h. eine Summe von Durchschnitten von Folgen offener Mengen. Der zweite Abschnitt beantwortet die dritte und die zweite der in [P.T.] aufgezählten ungelösten Fragen. (Korrektur zum Referat von [P.T.]: Frage 2. lautet: Ist jede Teilmenge eines abzählbaren DB ein DB?) Die Diskussion basiert auf der folgenden Definition: Sei \(E\) eine Menge in der Ebene; ein Punkt \(z\) gehört zur Menge gd(\(E\)) dann und nur dann, wenn für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta >0\) existiert, derart daß es für alle \(t\) mit \(|t-z| < \delta\) in \(E\) einen Punkt \(w\) gibt, welcher die Ungleichung \(|w-t| < \varepsilon |t-z|\) erfüllt. Ist zum Beispiel \(E = (z,|z| \leq 1)\), so ist \(\text{gd}(E) = (z,|z|<1)\). Ferner sei \(E^1 = E \cap \text{gd}(E)\) und für jede Ordnungszahl \(\alpha\) erster Art: \[ E^\alpha = E^{\alpha-1} \cap \text{gd}(E^{\alpha-1}), \] für jede Ordnungszahl \(\alpha\) zweiter Art: \[ E^\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} E^\beta. \] Es wird bewiesen, daß eine abzählbare Menge dann und nur dann ein DB ist, wenn es ein \(\alpha\) derart gibt, daß \(E^\alpha\) die leere Menge ist. Wie nach den Ergebnissen von [P.T.] zu erwarten war, konnte die vollständige Charakterisierung der als DB in Frage kommenden Mengen nicht rein topologisch ausfallen. Die Frage 2. wird positiv entschieden.