Über ein Problem in der Theorie der Primzahlen (Q771675)

Verf. gibt einen elementaren Beweis einer Vermutung von Lehmer aus dem Jahre 1900, die von Landau unter Verwendung funktionentheoretischer Hilfsmittel im Jahre 1909 bewiesen wurde. Das Theorem lautet: Es seien verschiedene zu \(k\) teilerfremde Restklassen \(ky+l_i\) \(i = 1, 2, \ldots, \lambda\), gegeben. Es sei \(\eta = \lambda/ \varphi(k)\), \(\theta(1) = 1\), und für \(n > 1\), \(\theta(n) = 1\) oder \(0\) je nachdem alle Primzahlen von \(n\) einer jener \(\lambda\) Klassen angehören oder nicht. Dann existiert \[ \lim_{x\to\infty} \sum_{n\le x} \theta(n) x^{-1} \log^{1-\eta}x\quad\text{ und ist }> 0.\] Im ersten und schwierigsten Abschnitt des Beweises wird gezeigt, daß \(\lim_{x\to\infty} \sum_{n\le x} \theta(n) x^{-1} \log^{\eta}x = B_0\), wobei \(B_0\) eine positive Konstante ist. Aus diesem Resultat folgt dann das Theorem ziemlich leicht im zweiten Abschnitt, indem man den Primzahlsatz für die arithmetischen Progressionen verwendet.