Inequalities for ultraspherical polynomials and the gamma function (Q788872)

Der Verf. beweißt mit elementaren Mitteln für die Gegenbauerschen Polynome \(P_ n^{(\lambda)}\) die Abschätzung \[ (\sin \theta)^{\lambda}| P_ n^{(\lambda)}(\cos \theta)|<2^{1- \lambda}/\Gamma(\lambda)(n+\lambda)^{1-\lambda}, \] \[ 0\leq \theta \leq \pi,\quad 0<\lambda<1,\quad n\in N. \] Diese Abschätzung ist besser als \textit{G. Szegö's} Ungleichung [Orthogonal polynomials (1959; Zbl 0089.275)], wo \(n^{1-\lambda}\) statt \((n+\lambda)^{1-\lambda}\) steht. Einige Abschätzungen für \(\Gamma(n+\lambda)/\Gamma(n+1)\) werden betrachtet.