Un exemple de champ magnetique dans \(R^{\nu}\) (Q788898)

Dans ce travail, nous étudions des conditions qui assurent que l'opérateur de Schrödinger associé à un champ magnétique dans \(R^{\nu}\) ait un spectre discret. (Cette question avait déjà été étudiée entre autres par \textit{J. Avron, I. Herbst} et \textit{B. Simon} [Duke Math. J. 45, 847-833 (1978; Zbl 0399.35029)].) Nous montrons tout d'abord sur un exemple que si la dimension \(\nu\) est supérieure ou égale à 3, la condition que le champ magnétique tende vers l'infini à l'infini ne suffit pas à assurer que l'opérateur de Schrödinger associé ait un spectre discret. Dans un deuxième temps, en s'inspirant d'un résultat de Avion, Herbst et Simon de l'article cité ci-dessus, on donne une condition sur la ''direction'' du champ magnétique qui, jointe au fait que le champ magnétique tende vers l'infini à l'infini, assure que l'opérateur de Schrödinger associé ait un spectre discret.