The double centralizer theorem for division algebras (Q790220)

Die Autoren beweisen den folgenden Satz: Sei D ein Körper mit Zentrum F, \(T\in M_ n(D)\) algebraisch über F. Dann ist der Doppelzentralisator C(C(T)) von T in \(M_ n(D)\) gleich F[T]. Der Beweis geht wie im kommutativen Fall aus von dem Modul \({}_ RV\) über dem Hauptidealring \(R=D[X]\), wobei \({}_ DV\) ein Vektorraum der Dimension n ist und X wie die lineare Transformation T operiert. V ist direkte Summe unzerlegbarer zyklischer Moduln \(R/Rq_ i\). Aber die \(Rq_ i\) sind nur Linksideale. Trotzdem ist der Bikommutant von \({}_ RV\) gleich D[T]: Jedes \(q_ i\) ist ''bounded'', d.h. \(Ann.(R/q_ iR)=(q_ i^*)\neq 0.\) Nach \textit{N. Jacobson} [The Theory of Rings (1943; Zbl 0060.073), theorem 20, p.45], gilt \(R/(q_ i^*)\simeq(R/q_ iR)^{n_ i}.\) Mit \(m=\prod n_ i=n_ in_ i\!'\) ist \(V^ m=\oplus(R/q_ iR)^{n_ in_ i\!'}=\oplus(R/(q_ i^*))^{n_ i\!'}.\) Aber \(V^ m\) und V haben denselben Bikommutanten [\textit{Bourbaki}, Algèbre, Chap. 8, {\S} 1, No.3, Prop. 8].