Parabolic potential theory (Q790297)

Es werden für die Potentialtheorie der Wärmeleitungsgleichung auf \({\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}\) eine Reihe von Aussagen bewiesen und deren Schärfe durch Beispiele verdeutlicht. So wird für positive harmonische Funktionen auf dem rechten Halbraum \(R=\{(x,t):t>0\}\) ein relativer Fatou-Satz über die Existenz von ''parabolischen Limiten'' gezeigt, während andererseits ein Beispiel für eine positive harmonische Funktion \(h\neq 0\) auf R gegeben wird, für die \(\lim \quad \inf_{x\to 0}\quad h(x,t)=0\) ist für alle \(t\in {\mathbb{R}}\). Weiter wird eine fallende Funktion f auf [0,1[ angegeben, deren Graph polar ist. Insbesondere erhält man damit (sogar stetige und reelle) Potentiale p auf dem oberen Halbraum \(D=\{(x,t):\quad x>0\}\) mit \(\lim \quad \sup_{x\to 0}\quad p(x,t)=\infty\) für alle \(x\in {\mathbb{R}}\). Es wird untersucht, für welche stetigen Funktionen \(\tau\) auf \({\mathbb{R}}\) unter welchen Wachstumsbedingungen für subharmonische Funktionen auf dem Gebiet \(\Omega_{\tau}=\{(x,t):t>\tau(x)\}\) das Randmaximumprinzip gilt. Schließlich wird studiert, wie Lösungen des Dirichlet-Problems und harmonische Maße für solche Gebiete \(\Omega_{\tau}\) aussehen. Ein Anhang enthält Beweise für die Integraldarstellung positiver harmonischer Funktionen auf D bzw. R.