On the hyperbolicity in the domain of real analytic functions and Gevrey classes (Q790342)

Soit un système différentiel de la forme \[ \partial /\partial t=\sum^{\ell}_{j=1}A_ j(x,t)\partial u/\partial x_ j+B(x,t)u+f;\quad u(x,0)=\phi(x) \] \(x=(x_ 1,...,x_{\ell})\in {\mathbb{R}}^{\ell}\), \(u(x,t)=(u_ 1(x,t),...,u_ m(x,t))\) où \(A_ j\) et B sont des matrices d'ordre m analytiques en x, continues en t. D'après un théorème de Bony-Schapira, si \(A_ j\) et B sont analytiques en (x,t) et si les racines \(\lambda_ i(x,t,\rho)\) de \(\det(\lambda I-\sum_{j}A_ j(x,t)\rho_ j)=0\) sont toutes réelles alors il existe un voisinage V de l'origine tel que, \(\forall \phi \in {\mathcal C}^ w(O)\), O voisinage ouvert connexe de l'origine, le système ait une unique solution \(u(x,t)\in {\mathcal C}^ w(V).\) Dans l'hypothèse plus faible choisie, l'auteur montre (Th. I) que si il existe un domaine V d'existence de solution pour toute donnés analytique réelle, alors les racines caractéristiques \(\lambda_ i(x,O,\rho)\), 1\(\leq i\leq m\) sont toutes réelles. Il établit un théorème analogue (Th. II) en se plaçant dans des classes de Gevrey.