On the algebraic independence of certain power series of algebraic numbers (Q791569)

Es bezeichnen \(f_{\sigma}(z)=\sum_{k\geq 1}a(\sigma,k) z^{e(\sigma,k)}\) für \(\sigma =1,...,s\) Potenzreihen mit Konvergenzradien \(R_{\sigma}>0\) und algebraischen \(a(\sigma\),k)\(\neq 0\), wobei die s Exponentenfolgen \((e(\sigma,k)), k=1,2,..\). genügend rasch anwachsen. Gestützt auf ein Kriterium von \textit{A. Durand} [Compos. Math. 35, 259-267 (1977; Zbl 0372.10022)] wird die algebraische Unabhängigkeit folgender Zahlen bewiesen: i) \(f_ 1(\theta_ 1),...,f_ s(\theta_ s)\) mit algebraischen \(\theta_{\sigma}\), \(0<| \theta_{\sigma}|<R_{\sigma};\) ii) \(f_{\sigma}(\theta_{\tau})\), 1\(\leq \sigma \leq s\), 1\(\leq \tau \leq t\) mit algebraischen \(\theta_{\tau}\) paarweise verschiedenen Betrags, \(0<| \theta_{\tau}|<_{\sigma} R_{\sigma}.\) Der Fall \(s=1\) von ii) ist ein Ergebnis von \textit{F.-J. Wylegala} und dem Ref. [Arch. Math. 34, 32-36 (1980; Zbl 0414.10033)]; ein zu i) ähnliches Resultat hat \textit{I. Shiokawa} [Arch. Math. 38, 438-442 (1982; Zbl 0474.10029)] erzielt.