Klassifikation der verallgemeinerten Regelflächen durch ihre Kommerellhyperflächen (Q791876)

Als Kommerell-Hyperflächen werden jene algebraischen Hyperflächen bezeichnet, die in den Normalenräumen einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des euklidischen n-Raumes \(E^ n\) invariant erklärt sind in Verallgemeinerung der Kommerell-Kegelschnitte der 2- Flächen im \(E^ 4\) [siehe \textit{K. Kommerell}, Die Krümmung der zweidimensionalen Gebilde im ebenen Raum von vier Dimensionen. Diss., Tübingen, 1897]. Der Autor zeigt, daß die Kommerell-Hyperflächen einer regulären \(C^ 2-(k+1)\)-Regelfläche \(\phi \subset E^ n\) (erzeugt von einer einparametrigen Schar linearer Teilräume \(E^ k\subset E^ n)\) entweder Quadriken oder Hyperebenen sind. Die Kommerell-Hyperflächen sind genau dann Quadriken, wenn \(\phi\) nichtzylindrisch ist und genau dann Hyperebenen, wenn \(\phi\) ein (nichtminimaler) \((k+1)\)-Zylinder ist. Außerdem wird gezeigt: Eine reguläre nichtzylindrische \(C^ 2\)-\((k+1)\)-Regelfläche \(\phi\) besitzt genau dann Zentralräume (der Dimension k-m), wenn in jedem Normalenraum von \(\phi\) die Kommerell-Quadrik ein (m-1)-dimensionales Ellipsoid enthält.