Le rayon d'injectivité des surfaces à courbure majorée (Q791896)

Soit V une surface homéomorphe à la sphère \(S^ 2\) et à courbure \(K\leq 1\). Nous montrons que le rayon d'injectivité vérifie: \[ Ray Inj_ x(V)\geq \pi -Diam(V)+_{\xi \in V}dist(\xi,x) \] pour tout \(x\in V\); en particulier il existe \(p\in V\) où \(Ray Inj_ p(V)\geq \pi.\) Cette dernière propriété est aussi vraie pour les métriques complètes sur \({\mathbb{R}}^ 2\) et pour les disques de rayon intérieur \(\geq \pi\) (pourvu que \(K\leq 1)\). Comme corollaire nous établissons l'inégalité \(Vol_{\min}({\mathbb{R}}^ 2)>4\pi +0,484\).