A characterization of dilatations and a functional equation (Q792617)

Verf. beweist: Es sei \(\sigma:{\mathbb{R}}^ 2\to {\mathbb{R}}^ 2\) eine Abbildung mit (1) Für alle \(p,q\in {\mathbb{R}}^ 2\) mit \((p-q)^ 2=1\) sind p-q und \(\sigma(p)-\sigma(q)\) linear abhängig. (2) Es gibt \(p_ 0\in {\mathbb{R}}^ 2\), so daß \(\sigma\) in \(p_ 0\) stetig ist. Dann ist \(\sigma\) eine Dilatation; d.h. \(\exists a\in {\mathbb{R}}^ 2\), \(\lambda\in {\mathbb{R}}\) mit \(\sigma(x)=a+\lambda x\) für alle \(x\in {\mathbb{R}}^ 2\). Als Folgerung erhält Verf.: Für \(\sigma:{\mathbb{R}}^ 2\to {\mathbb{R}}^ 2\) gelte (2) und (1)' Für alle \(p,q\in {\mathbb{R}}^ 2\) mit \((p-q)^ 2=1\) sei \((p-q)(\sigma(p)-\sigma(q))=0.\) Dann ist \(\sigma\) das Produkt einer Dilatation und einer Drehung um den Winkel \(\pi\) /2.