Zur gruppentheoretischen Darstellung der projektiv-metrischen Geometrien (Q794274)

Die Note liefert einen Beitrag zur gruppentheoretischen Charakterisierung der Geometrien projektiv-metrischer Räume beliebiger Dimension \(\geq 2\). Solche Charakterisierungen sind für die ebene Geometrie aus \textit{F. Bachman} [''Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff'' (1973; Zbl 0254.50001)] und \textit{R. Lingenberg} [''Metric planes and metric vector spaces'' (1979; Zbl 0419.51001)] bekannt. Die besondere Bedeutung der vorliegenden Arbeit ist in der Einbeziehung beliebiger Charakteristik und Dimension zu sehen. Es werden Gruppen G mit einem aus Involutionen bestehenden Erzeugendensystem S betrachtet, so daß (G,S) die projektiv-metrische Geometrie eines metrischen K-Vektorraums darstellt. Beispiele sind die erweiterten Spiegelungsgruppen (Ḡ,\=S), welche vom Verf. für Char. \(K\neq 2\) untersucht wurden [J. Geom. 14, 14-22 (1980); Zbl 0433.51012)]. Verf. gibt eine Kennzeichung dieser Gruppen an und folgert aus ihr die Isomorphie von \(\bar G\) zu der von \textit{E. M. Schröder} [J. Geom. 18, 57-69 (1982)] betrachteten erzeugten projektiven Cliffordgruppe. Interessant ist, daß es weitere, nicht zu \(\bar G\) isomorphe Gruppen gibt, welche ebenfalls die genannten projektivmetrischen Geometrien darstellen. Dies wird durch Beispiele belegt.