Flächensätze für quasikonform fortsetzbare Abbildungen (Q795954)

In dieser Arbeit wird eine Erweiterung des Flächenprinzips auf konforme Abbildungen mit einer \(Q_ j\)-quasikonformen Fortsetzung in die Komponente \({\mathfrak B}_ j\) des Komplements eines Gebietes \({\mathfrak G}\) gegeben. Für diese Abbildungen wird ein verallgemeinerter Flächensatz bewiesen, der die Flächensätze für die bekannte Klasse \(\Sigma\) (Q) [siehe \textit{R. Kühnau}, Math. Nachr. 48, 77-105 (1971; Zbl 0226.30021) und \textit{O. Lehto}, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I 500, 10 p. (1971; Zbl 0226.30020)] und einen weiteren Flächensatz [siehe \textit{Yu. E. Alenicyn}, Mat. Sb., Nov. Ser. 94(136), 114-125 (1974; Zbl 0298.30013)] enthält. Die Ungleichungen sind scharf; die Extremalfunktionen sind mit der Lösung der Gleichung \(w_{\bar z}(z)=\nu(z)\overline{w_ z(z)}\) verbunden, wobei \(\nu\) (z) eine stückweise konstante Funktion ist. Diese Flächensätze werden für die Abschätzungen des Wertebereiches einiger Funktionale verwendet. Die benutzte Beweismethode läßt sich auch für die Herleitung von i.a. unscharfen Flächensätzen für konforme Abbildungen mit quasikonformer Fortsetzung anwenden, wobei dann eine ortsabhängige Dilatationsbeschränkung vorliegt. Kürzlich konnte der Verf. mit Hilfe dieser Methode noch zeigen, daß für die Gültigkeit eines dann sogar scharfen Flächensatzes eine gewisse Quasikonformität im Mittel hinreichend ist.