Representation of an arbitrary vector-valued function by the limit of the Laplace integral of the solution of a nonregular spectral problem (Q795977)

Es wird die folgende Spektralaufgabe für ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen mit zerfallenden Randwertaufgaben untersucht: (1) \((dy/dx)-\lambda a(x)y+a^{(1)}(x)y=a(x)h(x), a<x<b\), (2) \(\alpha y(a,\lambda)=0,\quad \beta y(b,\lambda)=0.\) Es wird vorausgesetzt, daß die Wurzeln der Gleichung \(\det(a(x)-\phi E)=0\) reell und verschieden sind und daß es genau \(\tau\) negative Wurzeln gibt, wo \(\tau =rang \alpha\) ist. Für jede differenzierbare Vektorfunktion h(x) (für welche \(h'(x)\in L^ N_ 2(a,b)\) und \(h(a)=h(b)=0\) ist) wird die folgende Formel bewiesen: \[ h(x)=\lim_{t\to 0+}-\frac{1}{2\pi^ i}\int_{Re \lambda =H}e^{\lambda t}y(x,h,\lambda)d\lambda, \] wo y(x,h,t) eine Lösung der Aufgabe (1), (2) und H genügend groß ist.