Compact monothetic rings (Q796587)

On considère un anneau topologique commutatif R (avec ou sans unité); il est dit monothétique s'il existe un élément y de R tel que le plus petit sous-anneau fermé contenant y coïncide avec R. Tout idéal maximal de R[x] est la somme des idéaux principaux engendrés par un nombre premier p et par un polynôme unitaire et irréductible de degré k sur \({\mathbb{Z}}/p\); on désigne par \(R_{p,k}\) le complété de \({\mathbb{Z}}[x]\) pour la topologie p-adique; or, \(R_{p,k}\) est indépendant du polynôme choisi. Si \(\nu\) (p,k) est le nombre des polynômes unitaires et irréductibles de degré k sur \({\mathbb{Z}}/p\), on note, donc, \(R^*\) le produit pour tout entier premier p et tout entier naturel k des produits de \(\nu\) (p,k) copies de l'idéal principal engendré par \(R_{p,k}\). D'où le résultat: l'anneau compact et unitaire R est monothétique si et seulement s'il est l'image continue de \(R^*.\) Soient \(\Delta\) le produit pour tout entier premier p des anneaux des entiers p-adiques, et \(R_ 0\) le radical de \(\Delta\) [[x]] muni de la topologie usuelle. L'A. démontre les deux propriétés suivantes: tout anneau compact, radical, totalement discontinu et monothétique est l'image continue de \(R_ 0\); un anneau compact et totalement discontinu R est monothétique si et seulement s'il est l'image continue de \(R^*\times R_ 0\).