L'aiguille de Buffon sur la sphère (Q797207)

Sur la sphère unitaire, on se donne une famille de N méridiens équidistants et un ''aiguille'' donné par un arc de grand cercle dont la longueur L, mesurée en radians, sera supposée \(<\pi\). On donne la probabilité P(N,L) pour que l'aiguille coupe un méridien, sachant que le point milieu de l'aiguille et l'angle qu'elle forme avec une direction fixe soient uniformément répartie, l'un sur la sphère, l'autre dans \([0,\pi)\). Il s'agit d'une généralisation des résultats du deuxieme auteur, Boll. Unione Mat. Ital., V. Ser., A 16, 335-340 (1979; Zbl 0409.52004). On trouve aussi que si \(N\to \infty\) et \(L\to 0\) de telle sorte que N\(L\to 2\pi /k\) (k est une valeur fixe) alors P(N,L) tend vers une limite, et la probabilité conditionnelle d'intersection entre l'aiguille et un méridien est voisine de la probabilité calculée pour une classique aiguille de Buffon de longueur 1 jetée sur une famille de parallèles espacées de k sin \(\rho {}_ 0\).