The integral homology of \(SL_ 2\) and \(PSL_ 2\) of Euclidean imaginary quadratic integers (Q797695)

Für die natürliche Zahl d bezeichne \({\mathfrak O}_{-d}\) den Ring der ganzen Elemente im imaginärquadratischen Zahlkörper \(k={\mathbb{Q}}(\sqrt{-d})\). Die Autoren berechnen die Homologie (mit Koeffizienten in \({\mathbb{Z}}\) und im Steinbergmodul) der Gruppe \(\Gamma =PSL_ 2({\mathfrak O}_{-d})\) für \(d=1,2,3,7,11\) (d.h. für den Fall, daß \({\mathfrak O}_{-d}\) euklidisch ist). Dazu wird der von \textit{E. Mendoza} [Bonn. Math. Schr. 128 (1980; Zbl 0464.12005)] gegebene Komplex I(k), auf dem \(\Gamma\) zellulär operiert, verwendet. (I(k) ist ein 2- dimensionaler Deformationsextrakt des hyperbolischen 3-dimensionalen Raumes H und hat gegenüber diesem den Vorzug, daß dim I(k)\(=vcd \Gamma\) und \(\Gamma \backslash I(k)\) kompakt ist.) Die Homologie von \(\Gamma\) wird dann durch sorgfältiges Analysieren der Spektralreihe der Aktion von \(\Gamma\) auf I(k) aus der Homologie der Stabilisatoren der Zellen gewonnen.