Die Drehflächen mit ebenen charakteristischen Kurven (Q797838)

Als charakteristische Kurven (C-Kurven) einer elliptischen \(C^ 2\)- Fläche des Euklidischen \(E^ 3\) werden jene Flächenkurven k bezeichnet, deren Tangenten in jedem Punkte P die Diagonalen des Rechtecks der Scheiteltangenten der elliptischen Dupinschen Indikatrix berühren. Diese C-Kurven bilden ein konjugiertes Netz der Fläche. In der Arbeit werden alle Drehflächen (Drehachse z) mit ebenen C-Kurven bestimmt. Deren Differentialgleichung ist elementar lösbar. Mehr Einsicht gewinnt man durch geometrische Überlegungen, nämlich durch Heranziehen der Gruppe jener drehflächentreuen Projektivitäten, die zugleich krümmungs- und C-kurventreu sind. Es zeigt sich, daß alle Drehflächen \(\Phi\) mit ebenen C-Kurven aus einer einzigen Normdrehfläche \(\Phi^*\) hervorgehen, deren C-Kurven in achsenparallelen Ebenen liegen, und deren Hauptmeridian die Gleichung \(z=\sqrt{x^ 2-1}+\arcsin (1/x)\) hat. Durch die Projektivitäten \(x=x'/(ax'+b)\), \(y=y'/(ax'+b)\), \(z=(cz'+d)/(ax'+b)\) (ad-b\(c\neq 0)\) entstehen daraus die allgemeinen Flächen \(\Phi\), deren es drei verschiedene Typen gibt.