Some remarks on the Bergman-Gilbert integral operator (Q801223)

Für vorliegende partielle Differentialoperatoren P und Q wird ein Operator B ''transmutation'' genannt, falls für geeignete Argumente \(BP=QB\) gilt. B stellt im allgemeinen einen Integraloperator mit Distributions-Kern dar. An Hand eines Beispiels von R. P. Gilbert wird ein Transmutation-Operator B für \(P=\rho^ 2\Delta_ 3\) und \(Q=r^ 2(\Delta_ 3+k^ 2)\) angegeben; speziell werden somit Lösungen u der Gleichung \(\Delta_ 3u=0\) in Lösungen \(v=Bu\) der Gleichung \(\Delta_ 3v+k^ 2v=0\) transformiert. Die Eigenschaften des allgemeinen Bergman- Gilbert-Operators, gegeben durch \[ u(\vec x)=h(\vec x)+\int^{1}_{0}\sigma^{n-1}G(r,1-\sigma^ 2)h(\vec x\sigma^ 2)d\sigma, \] werden im weiten Verlauf der für Nicht-Spezialisten schwer lesbaren Arbeit untersucht.