Darboux-Bewegungen im hyperbolischen Raum (Q801539)

Eine einparametrige Schar von Isometrien des hyperbolischen Raums \(H_ 3\) heiße Darboux-Bewegung, wenn sämtliche Bahnkurven ebene Kurven sind. Verf. setzt jede solche stetige Schar in eine stetige Schar von Projektivitäten des umgebenden \(P_ 3\) fort und läßt einen Punkt \(x\in H_ 3\) gegen einen Punkt \(x_ 0\) der Grenzquadrik Q wandern, wobei \(H_ 3\) durch das Innere von Q realisiert werde. Die Bahn von x strebt dann gegen die Bahnkurve von \(x_ 0\), die ebenfalls eine ebene Kurve ist. Wählt man Q als Kugel des euklidischen Raums, so sind sämtliche Bahnkurven auf Q Kreise. Durch stereographische Projektion von Q in die Möbiusebene \(M_ 2\) erhält man aus jeder Darboux- Bewegung von \(H_ 3\) eine Schar von Möbius-Bewegungen mit Kreisen als Bahnkurven. Es werden nun alle Möbius-Bewegungen bestimmt, deren Bahnkurven Kreise sind. Die Klassifizierung dieser Möbius-Bewegungen in \(M_ 2\) führt zu einer Klassifizierung der Darboux-Bewegungen in \(H_ 3\), da zu jeder Möbius-Bewegung in \(M_ 2\) mit Kreisen als Bahnkurven eine Darboux-Bewegung von \(H_ 3\) konstruiert werden kann.