Equicontinuity, uniform structures and countability in locally compact groups (Q804718)

Sei G eine lokal-kompakte Gruppe. Die Autoren zeigen, daß eine symmetrische Teilmenge \({\mathcal B}\) der Automorphismengruppe von G genau dann gleichgradig stetig ist, wenn jede abzählbare Teilmenge von \({\mathcal B}\) gleichgradig stetig ist. Ist \({\mathcal B}\) die Menge der inneren Automorphismen von G, so ergibt sich daraus ein Resultat von \textit{V. G. Pestov} [Ukr. Mat. Zh. 40, No.1, 127-129 (1988; Zbl 0648.22003)], daß nämlich die links- und die rechtsuniforme Struktur auf G genau dann übereinstimmen, wenn für jede abzählbare Teilmenge B von G und für jede Umgebung U von \(e\in G\) die Menge \(\cap_{x\in B}x^{-1}Ux\) eine Umgebung von e ist. Als Konsequenz der Methoden der Autoren ergibt sich weiter, daß die uniformen Strukturen auf G übereinstimmen, falls sie auf jeder abzählbaren Untergruppe von G übereinstimmen. Daraus ergibt sich dann auch unmittelbar die Folgerung Pestov's, daß die uniformen Strukturen auf G übereinstimmen, falls sie auf jeder offenen \(\sigma\)-kompakten Untergruppe übereinstimmen.