Rate of approximation of orthogonal series by Riesz means (Q807916)

Es seien \(p_{\omega}=p(\omega)\) eine stetige, streng wachsende Funktion mit \(p_ 0=0,\lim_{\omega \to \infty}p(\omega)=\infty\) und \(\Phi\) die Menge der orthonormierten Systeme \(\phi =\{\phi_ n(x)\}^{\infty}_ 0\) in \((0,1).\) Im Falle \(\{a_ n\}\in \ell_ 2\) sei f(x) die \(L_ 2\)- Summe der Reihe \[ \sum^{\infty}_{n=0}a_ n\phi_ n(x)\quad (\phi \in \Phi), \] \[ R^{\alpha}_{\omega}(p,f,x)=\sum^{\omega}_{i=0}(1-p_ i/p_{\omega})^{\alpha} a_ i\phi_ i(x)\quad (\alpha >0), \] und \[ \Delta^{\alpha}_{\omega}(x)=| f(x)- R^{\alpha}_{\omega}(p,f,x)|. \] Unter anderem wird der folgende Satz bewiesen: Es sei \(\lambda (\omega)>0\) eine Folge mit \[ \lambda (\omega)/\log \log p(\omega)\uparrow,\quad \lambda (\omega)/p(\omega)\log \log p(\omega)\downarrow 0. \] Wenn \(\sum^{\infty}_{i=0}c^ 2_ i\lambda^ 2(i)<\infty\), dann gilt \[ (*)\quad \Delta^{\alpha}_{\omega}(x)=o_ x(\log \log p(\omega)/\lambda (\omega)) \] fast überall in (0,1). Gilt eine der Voraussetzungen \(a)\quad \lambda (\omega)\exp (-\log^{\beta} p(\omega))\downarrow\) für ein \(\beta \in (0,1),\) \(b)\quad \mu (\omega)\equiv p(\omega)/\lambda (\omega)\uparrow \infty,\mu (\omega)\exp (- \log^{\beta} p(\omega))\downarrow\) für ein \(\beta \in (0,1),\) \(c)\quad \mu (\omega)\downarrow,\) dann ist die Abschätzung (*) definitiv.