Convexity properties of coverings of smooth projective varieties (Q810207)

Sei \(\pi\) : \(\tilde X\to X\) die universelle Überlagerung einer zusammenhängenden projektiven Mannigfaltigkeit X. Die Vermutung von Shafarevich besagt, daß dann \(\tilde X\) holomorph-konvex sein sollte. In vorliegender Arbeit wird diese Vermutung für projektive Flächen X unter gewissen Zusatzbedingungen bestätigt. Der Beweis dazu basiert auf folgenden Tatsachen: (a). Eine vollständige Kähler-Mannigfaltigkeit mit beschränkter Geometrie, über der ein Geradenbündel \(L\to X\) gegeben ist, ist in geeigneten Situationen konvex bzgl. gewisser mittels L gegebener Bündel. Insbesondere gilt dann für eine projektive Mannigfaltigkeit X und ein positives Geradenbündel \(L\to X\), daß jede holomorphe Überlagerung \(\pi\) : \(\tilde X\to X\) ``Bündel''-konvex ist. (b) Sei \(\pi\) : \(\tilde X\to X\) eine holomorphe Überlagerungsfläche einer komplexen Fläche X, und sei C eine eigentliche kompakte analytische Menge von X, so daß \(\tilde C:\)\(\pi\) \({}^{-1}(C)\) holomorph-konvex ist. Dann gibt es eine Umgebung \(V=V(C)\) und eine stetige plurisubharmonische Funktion auf \(\tilde V:\)\(=\pi^{-1}(V)\), die \(\tilde V\) relativ zu \(\tilde X\) ausschöpft.