Propriétés de rigidité concernant la courbure des métriques indéfinies. (Rigidity properties for the curvature of indefinite metrics) (Q810884)

Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum mit einem nicht-entarteten, indefiniten Skalarprodukt \(<, >\). Eine Familie S von lichtartigen Vektoren in V heißt lichtartiges System von V in \(<, >\), wenn zu jeder symmetrischen Bilinearform f: \(V\times V\to {\mathbb{R}}\) mit \(\forall_{X\in S}f(X,X)=0\) eine Konstante c exitiert, die \(\forall_{X,Y\in V}f(X,Y)=c<X,Y>\) erfüllt. Selbstverständlich genügt es in endlichdimensionalen Räumen, lichtartige Systeme mit endlich vielen Elementen zu betrachten. Mit diesem Begriff beweist der Autor folgenden Satz: Sei (M,g) eine Mannigfaltigkeit mit einer indefiniten, nicht-entarteten Metrik \(<, >\). In einem Punkt \(p\in M\) existiere zu jedem \(X\in T_ pM\) ein (endliches) lichtartiges System S von \(\{X\}^{\perp}\) mit \(\forall_{Y\in S}<R(X,Y)Y,X>=0.\) Dann ist p ein Punkt mit konstanter Schnittkrümmung. Als eine weitere Anwendung des Begriffs des lichtartigen Systems wird bewiesen: Sei (M,g) eine Mannigfaltigkeit einer Dimension \(\geq 3\) mit indefiniter Metrik. Existiert in jedem Punkt \(p\in M\) ein lichtartiges System \(S_ p\) mit \(\forall_{V\in S_ p}Ric(V,V)=0,\) so ist (M,g) ein Einstein-Raum. Von den übrigen, in der Arbeit bewiesenen Sätzen sei auf ein ``Pinching-Theorem'' über die Ricci-Krümmung von 3- Mannigfaltigkeiten hingewiesen.