Differential equations for Hilbers modular forms of \(\mathbb Q (\sqrt 2)\) (Q816486)

\(\Gamma\) sei die Erweiterung der Hauptkongruenzuntergruppe der Stufe 2 der Hilbertschen Modulgruppe des Körpers \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) durch die Diagonalmatrix \(D[\varepsilon, \varepsilon^{-1}]\) (mit der Grundeinheit \(\varepsilon)\) und \(\widehat\Gamma\) die zugehörige inhomogene symmetrische Modulgruppe (d.h., die Erweiterung der Transformationsgruppe auf dem Produkt \(\mathbb{H}\times\mathbb{H}\) zweier oberer Halbebenen durch die Variablenvertauschung). Der Funktionenkörper zu \(\mathbb{H}\times\mathbb{H}/\widehat\Gamma\) ist rational. \textit{T. Sasaki} und \textit{M. Yoshida} [Math. Ann. 281, No. 1, 95--111 (1988; Zbl 0627.35015)] hatten für Fälle dieser Art gezeigt, dass die inverse Abbildung zu \(\mathbb{H}\times\mathbb{H}\to \mathbb{H}\times \mathbb{H}/\widehat\Gamma\) einem System linearer Differentialgleichungen genügt. Verf. entnimmt die Erzeugenden des Ringes der ganzen Modulformen zu \(\widehat\Gamma\) einer Arbeit von \textit{F. Hirzebruch} [Modular Funct. of one Var. VI, Proc. int. Conf., Bonn 1976, Lect. Notes Math. 627, 287--323 (1977; Zbl 0369.10017)] und gewinnt so die Uniformisierung \[ \pi: \mathbb{H}\times\mathbb{H}\to \mathbb{P}^2(\mathbb{C})\setminus \{6\text{ Punkte}\} \] explizit. Hierdurch kann er die Koeffizienten in den Differentialgleichungen von Sasaki und Yoshida berechnen und hiermit ein System von Differentialgleichungen für die logarithmischen Ableitungen der Hilbertschen Modulformen zu \(\widehat\Gamma\) aufstellen, das diese Modulformen charak\-te\-ri\-siert.