Transcendence of reciprocal sums of binary recurrences (Q833319)

Die Folge \((R_n)_{n\geq0}\) erfülle \(R_{n+2}=AR_{n+1}+BR_n \,\, (n\geq0)\) mit \(A,B,R_0,R_1\in\mathbb{Z}, (R_0,R_1)\neq(0,0),\Delta:=A^2+4B>0\) und sei nicht periodisch; die Teilfolge \((R_{r^k})_{k\geq0}\) sei nicht identisch Null, wobei \(r\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\) fest vorgegeben ist; weiter sei \(b\in\overline{\mathbb{Q}}\). Dann erhalten Verff. zwei Hauptresultate. 1) Ist \(A=0\) oder \(\Delta\) ein Quadrat, genügt \((a_k)\in\overline{\mathbb{Q}}^{\mathbb{N}_0}\) einer linearen Rekurrenz und ist \(a_k\neq0\) unendlich oft, so ist \(\theta:= \sum_{k\geq0}' a_k/(R_{r^k}+b)\) transzendent außer in fünf Fällen, in denen der algebraische Reihenwert explizit angegeben werden kann. (\(\sum'\) bedeutet Summation über genau die \(k\geq0\) mit \(R_{r^k}\neq-b\).) 2) Sind \(\rho_1,\dots,\rho_m\in\overline{\mathbb{Q}}^\times\) paarweise verschieden, so sind \(\theta_i:=\sum_{k\geq0}'\rho_i^k/(R_{r^k}+b), i=1,\dots,m,\) algebraisch unabhängig außer in genau acht vollständig charakterisierten Fällen. Die Beweise verwenden die Tatsache, dass \(\theta\) bzw. \(\theta_1,\dots,\theta_m\) als Werte geeigneter Funktionen \(f\) bzw. \(f_1,\dots,f_m\) geschrieben werden können, die gewissen Funktionalgleichungen genügen. Die darauf anwendbare Mahlersche Methode in ihrem derzeitigen Ausbau gestattet dann die Rückführung der Behauptungen auf den Nachweis der funktionalen Tranzendenz bzw. algebraischen Unabhängigkeit über \(\mathbb{C}(z)\).