Introduction to algebraic number theory (Q858624)

Diese ``Einführung in die algebraische Zahlentheorie'' beginnt mit zwei Kapiteln über elementare Zahlentheorie, nämlich über das Rechnen mit Restklassen und das quadratische Reziprozitäts\-gesetz. Kapitel 3 führt in die Gedankenwelt des Lokal-Global-Prinzips ein und bringt den Satz von Chevalley-Warning sowie das Gegenbeispiel von Reichardt und Lind zum Lo\-kal-Glo\-bal-Prin\-zip für Kurven vom Geschlecht \(1\). Die eigentliche algebraische Zahlentheorie beginnt in Kapitel 4, das dem Ring der Gaußschen Zahlen gewidmet ist. Danach folgen in Kapitel 5 die Grundtatsachen über algebraische Zahlen nebst dem Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen der Form \(p \equiv 1 \bmod m\) gibt. Kapitel 6 entwickelt dann die Dedekindsche Idealtheorie in quadratischen Zahlkörpern samt Endlichkeit der Klassenzahl und Einheitensatz (Pellsche Gleichung), und gibt Ausblicke auf den allgemeinen Fall. Als Anwendung wird in Kapitel 7 ein Beweis des Fermatschen Satzes für den Exponenten \(3\) gegeben. Die restlichen drei Kapitel geben einen Ausblick auf weiterführende Themen und Dinge, die in Vorlesungen oft zu kurz kommen. Kapitel 8 ist analytischen Methoden gewidmet: hier geht es um Charaktere, Gauß- und Jacobi-Summen, Lösungsanzahlen der Kongruenz \(aX^4 + bY^4 \equiv c \bmod p\) (also den Weilvermutungen in diesem Spezialfall), Zetafunktionen und \(L\)-Reihen, sowie Dirichlet's Primzahlsatz. In Kapitel 9 wird die Theorie der \(p\)-adische Zahlen bis zur Produktformel für das quadratische Hilbertsymbol entwickelt. Das letzte Kapitel 10 behandelt schließlich quadratische Formen mit rationalen Koeffizienten, den Satz von Hasse-Minkowski, sowie die Geschlechtertheorie quadratischer Zahlkörper. Alles in allem bietet das Buch eine klar und sorgfältig geschriebene Ein\-füh\-rung in die elementare algebraische Zahlentheorie; dabei orientiert sich der Autor nicht am Zeitgeist, sondern, wie die auch im Vorwort erwähnten Vorbilder [\textit{S. I. Borewicz} und \textit{I. R. Schafarewitsch}, Zahlentheorie. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Math. Reihe. 32. Basel und Stuttgart: Birkhäuser Verlag (1966; Zbl 0134.27303), \textit{K. Ireland} und \textit{M. Rosen}, A classical introduction to modern number theory. (Rev. and expand. version of 1972). Graduate Texts in Mathematics, 84. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag (1982; Zbl 0482.10001) und \textit{J.-P. Serre} [A course in arithmetic. Translation of ``Cours d'arithmetique''. 2nd corr. print. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 7. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag (1978; Zbl 0432.10001)], an den klassischen Problemen. Mit dem Blick auf das Wesentliche werden so Studenten, die sich vom vorliegenden Material begeistern lassen, auf weiterführende Vorlesungen (im Vorwort sind hier \textit{J. Neukirch} [Algebraische Zahlentheorie. Berlin etc.: Springer-Verlag (1992; Zbl 0747.11001)] und \textit{J. Neukirch, A. Schmidt} und \textit{K. Wingberg} [Cohomology of number fields. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323. Berlin: Springer (2000; Zbl 0948.11001)] genannt) vorbereitet.