Elementary algebra and number theory (Q858625)

Das Lehrbuch von Herrn Schulze-Pillot behandelt elementare Fragestellungen der Algebra und Zahlentheorie und ist ein Ansatz, für die Bachelorstudiengänge, die jetzt überall in Deutschland entstehen, und auch für das Lehramt einen Kompromiss zu finden, allen Absolventen dieser Studiengänge ein Mindestmaß\ an algebrai\-schen Kenntnissen zu vermitteln. Dies wird von der Zahlentheorie her motiviert und dadurch für viele Studierende greifbarer gemacht. Die ersten beiden Kapitel erinnern an die Grundvorlesungen und schildern den Aufbau des Zahlensystems bis hin zur Konstruktion der ganzen Zahlen. Die rationalen und reellen Zahlen gibt es dann einfach. Hier könnte durch Verweis auf die später behandelte Konstruktion von Quotientenkörpern und Faktorringen angedeutet werden, wie es weiter geht. Es folgen drei Kapitel mehr zahlentheoretischer Natur, in denen die wesentlichen Aussagen über Teilbarkeit, Primzahlen, Hauptidealringe und Restklassenringe behandelt werden. Die nächsten drei Kapitel sind mehr der Gruppentheorie gewidmet, die also später als üblich ihren Auftritt hat. Hier werden Gruppen systematisch eingeführt, Faktorgruppen gebildet und Isomorphiesätze bewiesen. Außerdem lernt man das wichtigste über Gruppenoperationen und wendet diese Erkenntnisse beim Beweis der Sylowsätze an. Der vielleicht originellste Abschnitt des Buches widmet sich abelschen Gruppen und Charakteren bis hin zur diskreten Fouriertransformation. Als Ergänzung wird der Elementarteilersatz für die ganzen Zahlen und für Polynomringe über Körpern besprochen. Kapitel 8 kehrt zur Zahlentheorie zurück, wobei prime Restklassengruppen, Primitivwurzeln und das quadratische Reziprozitätsgesetz thematisiert werden. Letzteres wird im Text charaktertheoretisch bewiesen. Die Primzahltests von Solovay-Strassen und Miller-Rabin werden vorgestellt. Kapitel 9 dreht sich um Körper und Körpererweiterungen. Hier werden die wichtigsten Konstruktionen und Begriffe eingeführt bis hin zur Konstruktion des algebraischen Abschlusses. Soweit das ohne Galoistheorie geht, werden auch die klassischen Probleme behandelt. In den letzten beiden Kapiteln geht es um endliche Körper -- für sie wird die Galoistheorie entwickelt -- und Faktorisierung von Polynomen über endlichen Körpern. Diese Diskussion gipfelt in Berlekamps Faktorisierungsalgorithmus. Im Buch finden sich erfreulich wenige und durchwegs erstauflagenbedingte Druckfehler. Einige wichtige Begriffe fanden nicht die Aufnahme in den fünfseitigen Index. Nur an zwei oder drei Stellen finden sich kleine inhaltliche Mängel. So wird etwa bei den Definitionen von Integritätsbereichen und Körpern vergessen, \(1\neq 0\) zu fordern, wodurch nachher einige Aussagen streng genommen falsch sind. Alles in allem ist das Buch von der Konzeption her sehr gelungen, schlüssig und sorgfältig geschrieben und auch hinsichtlich des Preises als Begleitlektüre zu einer Vorlesung sehr zu empfehlen.