On the existence of continuous (approximate) roots of algebraic equations (Q864459)

Toutes les fonctions complexes considérées sont continues sur un espace topologique \(X\). On étudie les fonctions définies par \(z= g(x)\) et vérifiant \[ P_a(x, z)= z^n+ a_{n-1}(x) z^{n-1}+\cdots+ a_0(x)= 0, \] où \(a= (a_{n-1},\dots, a_0)\) est une application de \(X\) dans \(\mathbb{C}^n\); elles sont appelées racines coninues de cette équation. Dans le cas où \(X\) est un espace compact, connexe et métrique, les propriétés suivantes sont équivalentes: l'équation a une racine continue, quel que soit \(a\); \(P_a(x, z)\) est le produit de \(n\) facteurs de la forme \(z- g_i(x)\); toute fonction continue \(X\to C\) est le carré d'une telle fonction; \(X\) est un espace connnexe pour la locale compacité et pour la métrisabilité et ne contenant aucune courbe simple fermée. Les auteurs étudient ensuite les racines \(n^{\text{ièmes}}\) approchées d'une fonction \(f\), c'est-à-dire les fonctions \(g\) qui ``approchent'' les solutions de \(g^n= f\). De nombreuses conséquences en sont déduites.