On the rearrangements of numerical sequences (Q908446)

Sei \(\sum^{\infty}_{n=1}\lambda_ n\) eine relativ konvergente Reihe und weiter soll I die Menge von den Umordnungen \((i_ 1,i_ 2,...)\) der Indexenfolge (1,2,...) sein. Es gilt das folgende Lemma. Die Menge \(H:=\{\sum \lambda_{i_ n}:\) \((i_ n)\in I\), \(\sum \lambda_{i_ n}\) ist konvergent\(\}\) ist entweder gleich \({\mathbb{C}}\) oder eine Linie in der komplexen Ebene. Weiterhin wird die Funktion f: \({\mathbb{C}}\to {\mathbb{R}}\) additiv genannt, wenn es gilt: wenn \(\sum \lambda_{i_ n}\) konvergiert, so ist \(f(\sum \lambda_{i_ n})=\sum f(\lambda_{i_ n}).\) In der Arbeit wird der folgende Satz bewiesen: Eine additive Funktion f: \({\mathbb{C}}\to {\mathbb{R}}\) muß in H linear sein, d.h. es existieren zwei Konstanten \(c_ 1\), \(c_ 2\) so, daß \(f(z)=c_ 1\cdot Im z+c_ 2\cdot Re z\) (z\(\in H)\). Neben der Verwendung des Lemmas wird dieses außerdem noch bewiesen.