Optimality conditions for the trace of certain matrix products (Q909750)

Für feste nicht-negative Diagonalmatrizen \(\Gamma_ 1,...,\Gamma_ k\) und beliebige orthogonale Matrizen \(X_ 1,...,X_ k\) gilt die Spurabschätzung \[ (*)\quad -Tr(\Gamma_ 1...\Gamma_ k)\leq Tr(X_ 1\Gamma_ 1...X_ k\Gamma_ k)\leq Tr(\Gamma_ 1...\Gamma_ k). \] Verff. geben gleichzeitig notwendige und hinreichende Bedingungen dafür an, daß in (*) an einer Stelle Gleichheit gilt. Im Fall \(k=1\) ist bei positiven Diagonalelementen dies nur für \(x_ 1=\pm I\) möglich, während beim Auftreten von Nullen in der Diagonale noch eine entsprechende beliebige orthogonale Untermatrix auftreten kann. Für den Fall \(k=2\) wird bewiesen, daß bei lauter positiven Diagonalelementen \(X_ 1=\pm X'_ 2=N_ 2N'_ 1\) gelten muß, wobei \(N_ 1\) eine mit \(\Gamma_ 1\) und \(N_ 2\) eine mit \(\Gamma_ 2\) vertauschbare orthogonale Matrix ist. Die Abschätzung (*) gilt auch, wenn \(X_ 1,...,X_ k\) lediglich Untermatrizen von orthogonalen Matrizen sind. Zur Formulierung von Bedingungen für beliebiges k wird gleich dieser allgemeinere Fall herangezogen. Ein Beweis hierfür wird nicht angegeben. Die Arbeit schließt mit einem numerischen Beispiel für den Fall \(k=3\) mit \(4\times 4\)-Matrizen.