Generalizations of Bieberbach's first theorem on crystallographic groups (Q910860)

Un groupe est dit avoir virtuellement la propriété (P) s'il contient un sous-groupe d'indice fini vérifiant (P). Le ``premier théorème de Bieberbach'' peut s'interpréter comme une classification virtuelle des sous-groupes discrets du groupe d'isométries \(E(n)\) de l'espace euclidien \(E^ n\). D'un point de vue géométrique, il exprime que toute variété riemannienne plate compact est à revêtement fini près un tore plat, i.e., le quotient de \(E^ n\) par un groupe \(\mathbb Z^ n\) de translations: Un sous-groupe discret \(\Gamma\) de \(E(n)\) est virtuellement abélien; si, de plus, \(\Gamma\) est cristallographique, i.e., \(E^ n/\Gamma\) est compact, alors \(\Gamma\) est virtuellement formé de translations. Une première généralisation consiste à remplacer \(E(n)=O(n)\ltimes {\mathbb R}^ n\) par le groupe \(\text{Aff}({\mathbb R}^ n)=\text{GL}({\mathbb R}^ n)\ltimes {\mathbb R}^ n\) de toutes les transformations affines. Soit \(L: \text{Aff}({\mathbb R}^ n)\to \text{GL}({\mathbb R}^ n)\) le morphisme qui à la transformation affine \(Ax+B\) associe la partie linéaire \(A\). Si \(\Gamma\) est un sous-groupe discret de \(\text{Aff}({\mathbb R}^ n)\), alors \(\Gamma_{nd}=\Gamma \cap L^{-1}(L(\Gamma)\cap \overline{L(\Gamma)}_ 0)\) est nilpotent; si, de plus, \(\Gamma\) est cristallographique, i.e., \({\mathbb R}^ n/\Gamma\) est une variété compacte, alors \(\Gamma_{nd}\) est unipotent. Les AA. réalisent ensuite une autre approche du premier théorème de Bieberbach, mettant en jeu les concepts de moyennabilité et de croissance polynomiale. Ils démontrent que tout sous-groupe discret d'un groupe de Lie à croissance polynomiale est virtuellement nilpotent de type fini. Enfin, \(O(n)\) est remplacé par le groupe \(O(n-1,1)\) des matrices conservant la forme de Lorentz \(q(x)=x^ 2_ 1+...+x^ 2_{n-1}-x^ 2_ n\); soit \(E(n-1,1)=O(n-1,1)\ltimes {\mathbb R}^ n\). L'article comprend une démonstration du théorème de \textit{W. Goldman} et \textit{Y. Kamishima} [J. Differ. Geom. 19, 233--240 (1984; Zbl 0546.53039)]: Une variété lorentzienne plate compacte est à un revêtement fini près le quotient d'un groupe de Lie résoluble par un réseau. La réaction fait voir d'une manière particulièrement claire les points cruciaux intervenant dans les démonstrations.