Über geschlossene sphärische Kurven. (On closed spherical curves) (Q913255)

Die feste Einheitskugel \(\Omega '\) des euklidischen \(R_ 3\) sei von der beweglichen Kugelschale \(\Omega\) überdeckt. Dann definiert die Kurve \(c_ 1\in \Omega '\) eine sphärische Begleitbewegung \(B(c_ 1)\), bei der der Punkt \(E_ 1\in \Omega\) mit dem Vektor \(e_ 1(t)\) die Kurve \(c_ 1\) so durchläuft, daß sie stets einen in \(\Omega\) festen Großkreis k in \(E_ 1(t)\) berührt. Man erhält ein orthonormiertes Dreibein \(e_ 1,e_ 2,e_ 3\) mit \(e_ 1\in k\) und \(e_ 2\in k\). Die Begleitbewegung \(B(e_ 1)\) längs einer geschlossenen Kurve \(c_ 1\) ist nur dann geschlossen, wenn \(c_ 1\) eine gerade Anzahl von Spitzen besitzt, andernfalls muß man \(c_ 1\) doppelt durchlaufen. Es gelten schiefsymmetrische Ableitungsgleichungen \(\dot e_ 1=\lambda e_ 2,\) \(\dot e_ 2=-\lambda e_ 1+\mu e_ 3,\) \(\dot e_ 3=-\mu e_ 2,\) die mit dem Darbouxschen Drehvektor \(d=\mu e_ 1+\lambda e_ 3\) auch so lauten: \(\dot e_ i=d\times e_ i.\)- Mit diesem einfachen Apparat gelingt es, die Flächeninhalte der Parallelrisse der Bahnkurven geschlossener sphärischer Begleitbewegungen zu bestimmen und verschiedene bemerkenswerte Eigenschaften zu gewinnen. Von Interesse sind dabei u.a. auch die sphärischen Kurven konstanter Breite, insbesondere jene der Breite \(\pi\) /2.