On the modulus of absolute continuity of holomorphic functions in the ball (Q914001)

Une fonction réelle \(\eta\) croissante et \(>0\) sur ]0,1[ est dite régulière si \(\eta(\delta)/\delta\to \infty\) quand \(\delta\to 0\) et \(\int^{\delta}_{0} (\eta(t)/t)dt\leq \text{const.} \eta(\delta)\). Soit f holomorphe sur la boule-unité ouverte B de \({\mathbb{C}}^ n\); si sa dérivée radiale \(Rf(z)=\sum_{j}z_ j(\partial f/\partial z_ j)\) vérifie \((1)\quad | Rf(z)| \leq const.\eta (1-| z|)/(1- | z|),\) alors: a) f a un prolongement continu à \(\bar B;\) b) sur la sphère S frontière de B, ce prolongement f a un module de continuité dominé par \(\eta: | f(z)-f(w)| \leq const.\eta (| z-w|)\) pour z,w\(\in S\); c) si la courbe \(\phi: I\to S\) est de classe \({\mathcal C}^ 1\) et paramétrée par son abscisse curviligne t: l'accroissement de \(f\circ \phi\) sur un intervalle \(J\subset I\) a un module \(\leq \text{const.} \eta[(mes.J)^ 2+\int_{J}| <\phi',\phi>| dt];\) en particulier, \(f\circ \phi\) a le module de continuité \(\eta (\delta^ 2)\) si, en chacun de ses points, la courbe \(\phi\) est tangente à l'hyperplan complexe tangent à S. Si maintenant la radiale itérée \(R^ nf\) appartient à l'espace de Hardy \(H^ 1(B)\), si \(\eta (\delta)=\sup \{\int_{E}| R^ nf(\zeta)| d\sigma (\zeta):\;E\subset S,\quad \sigma (E)\leq \delta^ n\}\) (où \(\sigma\) est la mesure de Lebesgue normalisée sur S) est régulière, ce qui entraîne que Rf vérifie (1), si enfin \(\phi\) est analytique (hypothèse complémentaire que les auteurs jugent ``probably not necessary''), alors on peut renforcer la propriété c) si-dessus en l'absolue continuité de \(f\circ \phi.\) L'article complète un travail antérieur des mêmes auteurs [Duke Math. J. 56, No.1, 129-142 (1988; Zbl 0641.32007)].