Structure of the sums set of a functional series (Q914083)

Sei \(\sum_{k}\phi_ k\) eine Reihe von Elementen eines Banachraumes X mit der Summenmenge S (d.h. \(f\in S\) genau dann, wenn eine gewisse Umordnung von \(\sum_{k}\phi_ k\) gegen \(f\in X\) konvergiert). Gilt \(\lambda f+(1-\lambda)g\in S\) für beliebige f und g aus S und \(\lambda\in {\mathbb{R}}\), so heißt S linear. Nach dem klassischen Umordnungssatz von Riemann hat jede Zahlenreihe eine lineare Summenmenge. Einige Bedingungen, die in \(L_ p(0,1)\) \((1\leq p<\infty)\) die Linearität der Summenmenge einer Reihe garantiert, haben \textit{M. I. Kadets} [Usp. Mat. Nauk 9, 107-109 (1954; Zbl 0055.290)] und \textit{E. M. Nikischin} [Mat. Zametki 14, 31-38 (1973; Zbl 0278.40003)] festgestellt. Andererseits gibt es Beispiele von Reihen mit nichtlinearer Summenmenge [vgl. \textit{P. A. Kornilov}, Mat. Sb., Nov. Ser. 113(155), 598-616 (1980; Zbl 0461.40005)]. In dieser Arbeit konstruiert der Verfasser eine Reihe \(\sum_{k}\phi_ k\) in \(L_ p(\Omega)\) \((1\leq p<\infty)\) mit \(\Omega:=\{x:=(x_ k):\) \(0\leq x_ k\leq 1\) (k\(\in {\mathbb{N}})\}\) so, daß \(S=\{0,1\}\) und \(\sum_{k}\| \phi_ k\|_ p^{p+\epsilon}<\infty\) für jedes \(\epsilon >0\) gilt.